Sucesión de Fibonacci y razón áurea

Entrada núm: 1 of 4 de la serie Matemáticas y física

Fibonacci y el problema de los conejos

Fibonacci es el apodo moderno de Leonardo de Pisa, el matemático que introdujo la numeración indo-arábiga con base 10 en la Europa de los años 1200, que todavía se manejaba de forma muy rudimentaria con la numeración romana. La hoy denominada sucesión de Fibonacci se deriva de uno de los problemas que este matemático medieval planteó en su libro más famoso.

Esta obra se conoce como “Liber Abaci”, y en ella se exponen las ventajas del nuevo sistema de numeración y plantea numerosos problemas de conteo y aritmética. Entre estos problemas está el que se conoce como problema de los conejos y que se plantea así:

Se echa una pareja reproductora en una granja. Su capacidad de reproducción es de una pareja al mes y cada nueva pareja tarda un mes en crecer y poder reproducirse. En estas condiciones ¿Cuántos conejos tendremos al cabo de 12 meses?

Sin embargo pronto se observó que más interesante que el total de conejos, era observar la progresión de su número, que formaba una sucesión recurrente en la que cada número se podía expresar como suma de los dos anteriores. A partir del siglo XIX esta sucesión empezó a conocerse como sucesión de Fibonacci.

\inline a{n}=a_{n-1}+a_{n-2}

Algoritmo simple para el cálculo de an

La construcción de un algoritmo simple para el cálculo de an es relativamente sencilla. Se suministran de forma explícita los dos primeros valores: “0” y “1” y a partir de ellos construimos un bucle iterativo que llega hasta el término enésimo que se haya especificado.

Este algoritmo se propone solamente a nivel de ejemplo para operar de forma didáctica con los primeros términos de la sucesión, pero no es recomendable cuando se trata de obtener términos grandes, puesto que el número de operaciones a realizar terminaría desbordando la capacidad de cálculo de la computadora. Para esos casos existen algoritmos optimizados de tipo matricial, además de la formulación explicita del término general de la sucesión en función de la razón áurea.

Conexión con la razón áurea

El cociente o ratio entre un número de la sucesión de Fibonacci y su anterior tiende al valor que se conoce como razón áurea, es decir:

\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\varphi

Dónde:

\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618033...

Propiedades interesantes de la sucesión de Fibonacci

La entrada de wikipedia contiene un resumen de las propiedades de esta curiosa sucesión, de entre las que yo destaco la siguiente: cualquier número entero se puede expresar como suma de números únicos de la sucesión de Fibonacci. En este sentido los números de Fibonacci son a la suma lo que los números primos a la multiplicación, es decir, bloques generadores del conjunto completo de los numeros naturales.

Apliaciones prácticas de la sucesión de Fibonacci

En trading o comercio (particularmente en el campo de las divisas) se manejan ratios de variaciones de precios que están basados en la sucesión de Fibonacci. Las zonas en las que los mercados se resisten a cambiar de tendencia sueles poder estimarse bastante bien con los intervalos de la sucesión de Fibonacci. En biología hay ciertos modelos de crecimiento (modelos de Leslie) de poblaciones animales, aunque no precisamente los conejos, que se basan en la sucesión de Fibonacci. También en el mundo de las apuestas y más concretamente en el de las apuestas a la ruleta de los casinos, hay ciertas estrategias basadas en la sucesión de Fibonacci que muchos jugadores afirman que son exitosas.

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Comments

This post currently has 3 responses

  • Escuche a mi jefe decir que existe una fórmula de fibonacci en Excel con el cual puedes revisar la capacidad de tu ordenador, quiero sabes si sabes cual es?
    De ante mano muchas gracias

    • No tengo ni idea, Gabriel. La capacidad del ordenador en Excel. Te refieres a…memoria RAM? No la conozco. Lo siento.

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