El salto de Félix Baumgartner

Entrada núm: 2 of 4 de la serie Matemáticas y física

La caída libre en un campo gravitatorio

Después de un intento suspendido a causa del fuerte viento el día 9 de octubre de 2012, por fin tuvo lugar el salto de Félix Baumgartner desde un globo aerostático situado a casi 40 kilómetros de altura el pasado 14 de octubre de 2012. En una acción de lo que se conoce como deporte extremo, este paracaidista aventurero nos da una gran oportunidad para reflexionar sobre algunas de las leyes básicas del mundo en el que vivimos y aplicar Microsoft Excel para comprobar sus particularidades.

Segunda Ley de Newton

No te asustes ahora, querido lector. Vamos a obtener la ecuación del movimiento. Tanto si eres de ciencias y se te ha olvidado como si eres de letras y nunca lo viste, verás que sin la presión de un examen, en realidad es un concepto fácil. De acuerdo a la segunda Ley de Newton, el movimiento de un cuerpo (considerado como sólido rígido) en caída libre se podría describir con la ecuación:

\sum F= ma

Es decir, la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo será igual al producto de su masa por la aceleración de su trayectoria. Recuerda que es una “ley”, es decir, hay que aceptarla como buena (y la experiencia demuestra que lo es).

Empezaremos despreciando la acción del casi inexistente aire, por lo que la única fuerza actuante será la de la gravedad, cuya expresión conocemos: es el producto de la masa del cuerpo que cae por la aceleración de la gravedad (g=9,8 m/s2). Así pués:

mg=ma

Si llamamos “s” a la trayectoria, “v” a la velocidad y “t” al tiempo y ponemos la ecuación en su forma diferencial:

mg=m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}

Eliminamos las masas y despejamos:

{\mathrm{d} v}=g{\mathrm{d} t}

Integramos:

\int{\mathrm{d}v }=g\int {\mathrm{d} t}

Y resolvemos este primer paso:

v=gt+kv=gt (V_{0}=0)

Pero continuando el proceso para obtener la trayectoria podemos expresar la velocidad como la variación del espacio recorrido en la unidad de tiempo y observar que K no será sino la velocidad inicial, a la que llamaremos Vo.  Otra vez en forma diferencial:

\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=gt+v_{0}

Despejando e integrando:

\int {\mathrm{d}s }=g\int t{\mathrm{d} t}+v_{0}\int {\mathrm{d} t}

Resolvemos y llamamos So a la nueva constante de integración (espacio inicial):

s=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}gt^{2}

Archiconocidísma ecuación que describe el espacio recorrido por un cuerpo en caída libre. Para el caso de que el espacio incial sea cero (situamos los ejes de coordenadas en el punto de partida) y la velocidad inicial también sea cero (válido para el caso del paracaidista que se deja caer), nos queda la siguiente versión simplificada de la ecuación:

s=\frac{1}{2}gt^{2}

O sea:

t=\sqrt{\frac{2s}{g}}

La situación real de la caída en un fluido viscoso

Desafortunadamente la situación teórica que acabamos de describir sólo es aplicable a casos en los que se pueda despreciar la acción de rozamiento del aire, y el salto a estas alturas, con o sin paracaídas, y aunque se llame caída libre, no es uno de estos casos.

Félix saltó desde una altura de 39.068 m por lo que según las ecuaciones anteriores debería haber tardado:

t=\sqrt{\tfrac{2*39068}{9,81}}=89,25 s

Pero tardó un total de 549 segundos en tocar el suelo, abriendo el paracaídas en el segundo 260 de la caída.

Fuerza de fricción del aire

La presencia del aire atmosférico (con densidad pequeña, pero no nula, aún a esas alturas y creciente en el descenso) genera una fuerza de fricción que actúa en sentido contrario a la de gravedad. Esa fuerza de fricción depende de varios factores, de los que los principales son la densidad del fluido (aire en este caso y con densidad variable según la ley barométrica, desde 1,225 g/dm3 a nivel del mar) y la propia superficie de contacto que ofrece el objeto. Por ejemplo el paracaidista puede frenarse o acelerarse sin más que abrir o juntar brazos y piernas, girar, ponerse de cabeza.

El movimiento resultante no se puede describir con una sóla ecuación, pero si nos centramos en la parte de caída libre (antes de la apertura del paracaídas) vamos a apuntar el camino a las soluciones empíricas tradicionales.

En primera aproximación se puede considerar que la fuerza de fricción que un objeto experimenta en un fluido es proporcional a la velocidad a través de un coeficiente “c”. La aplicación de la segunda ley de Newton nos daría ahora:

mg-cv=ma

Teniendo esto en cuenta podemos rehacer nuestras ecuaciones diferenciales para llegar a:

\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=g-\left ( \frac{c}{m} \right )v

Esta ecuación diferencial tiene una pinta bastante menos amigable que las anteriores y no entraremos al toro de los detalles de su solución analítica. Aprovechamos sólo para comentar que este tipo de ecuaciones que tienen en un lado la variable en primer orden y en el otro la derivada primera, se solucionan con funciones exponenciales que incorporan un efecto de amortiguamiento causado por el rozamiento .

En este caso la solución para la velocidad en función del tiempo es:

v(t)=\frac{gm}{c}\left ( 1-e^{-\frac{c}{m}t} \right )

Si conocemos la masa del paracaidista y el coeficiente de rozamiento, podremos resolver la ecuación.

Esta aproximación puede ser suficiente para problemas simples de fluidos ideales, pero es todavía demasiado simplista para la mayoría de los casos reales, aunque ya no vamos a entrar más en el detalle.

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Comments

This post currently has 3 responses

  • Hola,

    Corrigiendo la altitud en el caso de la friccion, integrando la velocidad, podemos ver que la curva de velocidad de Felix sigue bastante bien este modelo hasta alcanzar su velocidad maxima.
    El modelo utilizado en el fichero Excel basado en la utilizacion de la velocidad media no funciona bien.

    • Estoy de acuerdo. Se trata solo de una aproximación que pretende describir el fenómeno de la caída en sus términos generales.
      Todos los movimientos en el seno de fluidos son en realidad muy complejos y habría que echar mano de ecuaciones más elaboradas (Navier-Stokes), distinguir y caracterizar mejor las fases, asignar las densidades correctas del aire…
      Pueden aparecer fenómenos imprevistos como la cavitación y los regímenes turbulentos…
      Y hay que tener en cuenta que hay factores imposibles de modelar bien, como los propios movimientos de Félix en el intervalo en el que lucha por estabilizar la caída.

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